Pi : encore une approximation

  • Problématique

Dans le livre « Les Grecs, les Arabes et nous » visant à défendre l’islam contre la critique et à valoriser son legs culturel à l’humanité (cf. articles précédents), il est écrit page 67 à propos de l’apport dans le domaine des sciences : « le traité « sur la figure des mesures planes et sphériques » est le point de départ des recherches mathématiques infinitésimales qui seront menées dans le monde arabo-musulman ; dans ce traité, les Banû Mûsâ déterminent la surface du cercle et celle de la sphère, et montrent que le volume de la sphère est égale à son rayon multiplié par un tiers de sa surface. »

Mais que veut dire « déterminer » dans ce texte, ce terme laissant entendre qu’une étape nouvelle a été franchie dans le raisonnement mathématique  s’agissant de la nature profonde du nombre pi ?

  • Examen

Gilles Godefroy indique dans son livre « L’aventure des nombres » au sujet de pi : « En 1424, Al-Kashi de Samarcande a pulvérisé le record (sept décimales) établi mille ans plus tôt par Tsu Ch’ung-chih en calculant les seize premières décimales. » Il s’agit effectivement d’un grand progrès en matière de calcul approché.

Jean-Paul Delahaye (« Le fascinant nombre pi ») note de son côté qu’Al-Kashi calcule les décimales de pi par la méthode connue des polygones d’Archimède et que pour 100 décimales, il faudra attendre le XVIIIème siècle. C’est Viète (1540-1603) qui donne la première formule infinie et non approchée de pi :

En effet, pi est un nombre transcendant qui ne peut être exprimé que par une suite infinie de calculs élémentaires. Beaucoup de mathématiciens proposeront d’autres formules, comme Wallis, Brouncker, Gregory, Leibniz, Newton, Stirling, Machin, Euler, toute la difficulté étant de trouver celle qui assure la convergence la plus rapide possible des calculs.

Euler, immense génie, fournit une formule d’une majestueuse élégance :

  • Conclusion

Les Banû Mûsâ ont amélioré le calcul approché de pi de façon significative mais n’ont pas franchi l’étape de la proposition d’une formulation mathématique exacte.

Au-delà du fait que cette question n’apporte pas grand-chose à l’analyse du rapport de la science à l’islam, le flou du propos contenu dans le livre « Les Grecs, les Arabes et nous » est assez ennuyeux car il laisse entendre qu’une percée conceptuelle a été réalisée par la mathématique arabe dans le monde musulman permettant l’obtention d’une formule exacte, ce qui n’est pas le cas. Pour des auteurs qui se veulent d’une objectivité et d’une rigueur irréprochables, il y a encore du travail.

Islamophilie savante : Algèbre, islam et Occident

Comme nous l’avons vu dans un précédent article, l’ouvrage « Les Grecs, les Arabes et nous » cherche à défendre l’islam au travers du prisme opaque de la notion de monde arabo-musulman.

Au-delà de la polémique que soulève par définition toute approche critique de l’apport des différentes civilisations dans un monde où la « diversité » est devenue reine, il faut reconnaître que ce type d’analyse est difficile compte tenu de la complexité des questions soulevées. Sylvain Gougenheim cite dans son livre « Aristote au Mont Saint-Michel » un propos du grand historien Fernand Braudel qui en synthétise bien un des aspects : « La plupart des transferts culturels s’accomplissent sans que l’on connaisse les camionneurs ».

Néanmoins, il est un domaine où une approche scientifique sans doute moins sujette à des parti-pris idéologiques est possible, les mathématiques, car les mathématiciens sont assez imperméables aux questions religieuses dès lors que c’est de science qu’il s’agit. Je vous propose d’y revenir rapidement dans cet article.

  • La découverte de l’algèbre

Le livre « Les Grecs, les Arabes et nous » note à propos d’Al-Khwarizmi que « le mot même d’algèbre ne figure pas dans l’ouvrage de Gougenheim » et rappelle que « C’est pourtant dans le Livre d’algèbre d’al-Khwarizmi, que l’Europe, au XIIème siècle découvre l’algèbre ». Sylvain Gougenheim ne s’attarde effectivement pas beaucoup de façon générale sur les questions mathématiques dans son livre « Aristote au Mont Saint-Michel », questions avec lesquelles il ne semble pas forcément très familier.

Pour autant, l’apport de certains mathématiciens arabes du Moyen-Âge est un fait largement reconnu dans la communauté scientifique et universitaire depuis longtemps et ne fait guère l’objet de polémique. Citons Gilles Godefroy dans son livre « L’aventure des nombres » :

« Toujours est-il qu’Al-Mamoun établit à Bagdad une Maison de la sagesse (Bait Al-Hikma) où sont traduits Euclide, Apollonius, Diophante, Archimède, Aristote, et où affluent les savants iraniens et indiens. Ceux-ci apportent avec eux le système décimal de position, agrémenté d’un progrès capital, que nous devons sans doute à l’Inde : le zéro. (…) Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi est, au début du IXème siècle, l’un des membres les plus actifs de la Bait Al-Hikma de Bagdad. Il participe par exemple à une expérience couronnée de succès visant à calculer le rayon de la sphère terrestre. Il produit aussi une demi-douzaine de livres astronomiques et mathématiques, parmi lesquels on peut citer son « De numero indorum », dont l’original arabe est perdu mais dont subsiste une unique traduction latine. Dans cet ouvrage, peut-être basé sur une traduction arabe de Brahmagupta, Al-Khwarizmi décrit en détail le système de numérotation indien, qui, au prix de quelques modifications de forme mais non de principe, allait devenir le nôtre. C’était bien sûr moins clair pour ses traducteurs latins, et moins encore pour leurs lecteurs, d’où le nom de « chiffres arabes » utilisés jusqu’à nos jours. »

« Le nom d’Al-Khwarizmi, latinisé en algorismi puis en algorisme, allait finalement devenir notre mot algorithme, cependant que le titre de son ouvrage le plus célèbre « Hisab al-jabr wa’l muqabalah » traduit en « Liber algebrae et almucabola » (le traducteur, Gérard de Crémone, ne s’est pas fatigué inutilement) allait nous donner « l’algèbre ». Cette algèbre d’Al-Khwarizmi représente une avancée fondamentale, immédiatement reconnue comme telle. On y assiste en effet à un changement de point de vue : il ne s’agit plus de résoudre des problèmes arithmétiques ou géométriques qu’on peut traduire en équations, mais au contraire de partir des équations dont chacune recouvre et résume une classe infinie de problèmes variés. (…) Les algébristes arabes sont en effet les premiers à dégager le concept de polynôme, sans limitation de degré. Ils vont donc démontrer une quantité de théorèmes sur ce que nous appelons à présent l’algèbre des polynômes. »

Mais si l’apport des mathématiciens arabes est tout à fait reconnu, il est juste également d’en préciser les limites pour reconnaître l’apport des autres mathématiciens. Poursuivons avec Gilles Godefroy :

« Nous sommes à la fin du Quattrocento, dans une université déjà vénérable puisqu’elle est la plus ancienne d’Europe, à Bologne. L’Italie regroupe alors les meilleurs arithméticiens et on y accourt de l’Europe entière pour y apprendre… à multiplier et à diviser suivant les méthodes modernes. Le niveau de la recherche est naturellement très supérieur à celui des cours magistraux et les chercheurs italiens vont démontrer leur savoir-faire. C’est en effet à Bologne, où il enseigne, que l’algébriste Scipione dal Ferro va inaugurer les temps modernes en triomphant d’un très ancien problème : la résolution algébrique de l’équation générale du troisième degré : ax3 + bx2 + cx + d = 0. Cette question capitale avait bien sûr été fréquemment abordée. Voyons comment le scientifique persan Al-Khayyam (1050-1122), qu’on identifie au célère poète du même nom, y répond, en posant : y = x2, on est amené au système d’équations : axy + by + cx + d = 0 et y – x2 = 0, que l’on interprète comme la recherche de points d’intersection d’une hyperbole et d’une parabole, points dont on montre effectivement l’existence. L’approche d’Al-Khayyam montre qu’il était très conscient des liens qui unissent algèbre et géométrie. (…) Le point de vue d’Al-Khayyam était très moderne puisqu’il concevait clairement l’idée puissante de changement de cadre aujourd’hui centrale en mathématiques. Son approche, cartésienne avant la lettre, ne pouvait cependant le satisfaire pleinement : il cherche à exprimer une solution à l’aide de radicaux, reconnaît avoir échoué, et formule l’espoir que « peut-être l’un de ceux qui viendront après nous réalisera cette résolution ». Quatre siècles plus tard, c’est aux algébristes italiens, dignes disciples des arabophones et de Fibonacci, que reviendra l’honneur de réaliser ce souhait en triomphant du troisième degré par des moyens purement algébriques. »

En effet, si les mathématiciens arabes avaient pu résoudre certaines équations polynomiales par des voies inspirées de la géométrie, il leur manquait une approche rigoureuse et systématique pour la résolution de ces équations.

  • Dérivés et primitives

On lit également dans « Les Arabes, les Grecs et nous » (page 66) : « Les mathématiciens qui apprendront non seulement que Thâbit ibn Qurra a traduit les livres V et VII de la Cronica d’Appolonius mais également qu’il a montré que la primitive de (racine de x) était (2/3 x3/2), et calculé l’aire de l’ellipse en cherchant la limite des sommes des aires des polygones inscrits et exinscrits, resteront sans doute perplexes ».

Cette remarque critique de l’ouvrage de Sylvain Gougenheim n’est pas très claire : le reproche semble surtout porter sur le fait que Sylvain Gougenheim limite sa description aux découvertes d’un individu, Thâbit ibn Qurra, sans évoquer le contexte scientifique plus global dans lequel il évoluait.

Sylvain Gougenheim met au crédit de Thâbit ibn Qurra (page 98) une découverte (la primitive de racine de x) et laisse ainsi supposer une découverte conceptuelle étonnante pour son temps : les mathématiciens arabes ont-ils conceptualisé véritablement le calcul infinitésimal en commençant à le formaliser sous la forme « moderne » de dérivés et primitives ?

L’intuition du raisonnement infinitésimal au sens de calcul par approximations successives que l’on peut poursuivre indéfiniment est apparue des siècles avant l’islam (notamment dans le calcul approché par encadrement de la surface du cercle ou d’autres formes géométriques) mais le concept de dérivée et de primitive (et ses multiples conséquences), lié au calcul différentiel et intégral, n’a été formulé rigoureusement qu’à partir du XVIIème siècle avec les contributions essentielles de Leibniz, Newton, Bernoulli, Euler, et d’autres encore.

Il est possible que Thâbit ibn Qurra ait, sur un cas isolé, trouvé ce que nous appelons aujourd’hui la « primitive » d’une fonction, mais la formulation générale et la maîtrise de ce concept ne datent pas de son époque comme en attestent les ouvrages de mathématiques.

  • Conclusion

La contribution des mathématiciens arabes du Moyen-Âge est tout à fait reconnue par leurs pairs occidentaux : cette contribution est facilement identifiable dans des ouvrages d’histoire des mathématiques disponibles dans les librairies.

Malheureusement, les penchants idéologiques de certains intellectuels non-scientifiques les poussent semble-t-il parfois à magnifier la place de la mathématique arabe dans l’histoire des sciences, et surtout à mélanger les questions.

En effet, le problème n’est pas tant de savoir s’il y a eu de grands savants arabes que de comprendre pourquoi, sur la longue durée, ce flot s’est tari au point de devenir quasi-inexistant depuis le Moyen-Âge, et de déterminer quelle influence a pu avoir l’islam sur cet assèchement, la liberté de la critique étant une des conditions fondamentales du développement des sciences mais ne faisant guère partie des valeurs essentielles de la culture musulmane.

 

L’« islamophilie savante » : quelques éléments de langage

  • Critique de l’islam : la guerre est déclarée

Pour faire taire la critique quant à l’impact du grand chambardement humain encouragé depuis quelques décennies par l’immigration ouvrière musulmane de masse et plus récemment par l’arrivée de migrants économiques musulmans de plus en plus nombreux, certains intellectuels pratiquent en France une islamophilie qui prétend faire fi des considérations culturelles et religieuses les plus élémentaires au profit de la promotion utopique et insensée d’une humanité universelle mais « diverse », posture intellectuelle qui s’accompagne naturellement de l’attaque virulente de tous ceux dont les travaux peuvent contribuer à alimenter la critique raisonnée de cet universalisme sans limite et de l’islam, dont il est aujourd’hui un des protégés. Aussi, il est intéressant de revenir sur une polémique qui a illustré la difficulté d’ouvrir le débat sur cette question en France.

  • L’affaire « Gougenheim » et la réponse des islamophiles savants : « Les Grecs, les Arabes et nous (enquête sur l’islamophobie savante) »

La publication du livre « Aristote au mont saint Michel » de Sylvain Gougenheim en 2008 a déclenché une intense polémique car ce livre osait questionner  l’apport de la civilisation arabo-musulmane dans l’histoire du monde et plus particulièrement dans son rapport à la civilisation occidentale.

Un collège d’intellectuels publia en réponse l’année suivante le livre « Les Grecs, les Arabes et nous » :

Pour le collège de rédacteurs de l’ouvrage « Les Grecs, les Arabes et nous », la réponse est simple (page 8) : « Aristote au Mont Saint-Michel développe une vision du monde qui s’insère très précisément dans la philosophie de l’histoire sarkozyste à la rencontre de ses trois axes majeurs : (1) exaltation de la France toute chrétienne , celle du « long manteau d’églises » jeté sur nos campagnes ; (2) revendication assumée de « l’œuvre positive » de la colonisation – puisque la science est par essence européenne ; (3) volonté de liquider définitivement mai 68. »

On voit que l’analyse est tranchée et que le parti-pris idéologique de la réponse dans son introduction est assez manifeste, au moins sur deux plans : dénier au christianisme une relation « charnelle » avec la France et sa culture tout au long d’une histoire millénaire ; enfoncer le clou de la culpabilité colonisatrice au profit des pauvres pays musulmans anciennement colonisés. Quant à mai 68, je dois avouer n’avoir pas bien saisi ce que cela vient faire dans le débat sur la relation avec le monde arabo-musulman ; peut-être une résurgence obsessionnelle et irrépréssible de l’esprit libertaire.

  • Critiquer l’islam de façon argumentée, c’est être un islamophobe savant

Il est assez difficile de proposer une synthèse de ce livre « Les Grecs, les Arabes et nous » et de l’argumentaire détaillé fourni pour détruire l’ouvrage de Sylvain Gougenheim car il me semble à vrai dire assez difficile à lire.

Je passe sur la multitude de remarques et de propos hautains et méprisants proférés à l’égard de ce dernier, ce qui n’est pas sans dénoter un parti-pris aussi partisan que celui que ce collège de rédacteurs prétend dénoncer. Sylvain Gougenheim a peut-être tenu des propos erronés, formulé des approximations, manqué de clarté : c’est tout à fait possible sur un sujet aussi complexe, vaste et difficile à cerner que la civilisation arabo-musulmane du Moyen-Âge et sa relation aux mondes grec et occidental. Le mieux pour le lecteur est évidemment au moins de commencer par lire ce livre avant d’en parler.

Reste qu’en réalité la questionnement de la valeur de la civilisation  musulmane dans l’histoire du monde semble surtout insupportable par principe à ces détracteurs : critiquer directement ou indirectement l’islam, c’est évidemment être islamophobe – selon l’antienne désormais bien connue –. On lit ainsi : « Aristote au Mont-Saint-Michel livre un nouveau symptôme. Personne n’y avait pensé jusqu’à sa publication : pourquoi ne pas confier l’islamophobie à des experts ? »

Cette pensée prend un tour vicieux car elle vise en fait à nier dans l’œuf toute objectivité et toute honnêteté aux critiques de l’islam. La dialectique est subtile dans la manipulation des arguments pour toujours arriver à une condamnation, quel que soit le propos – comme dans la dialectique marxiste –, puisque la modération même du propos peut être retournée et analysée comme partie intégrante de la dialectique islamophobe : « L’islamophobie savante se voudrait modérée : personne ne dit que l’Europe ne « doit » rien aux savoirs transmis par les Arabes. L’islamophobie savante constate seulement qu’on a, sur ce point, beaucoup exagéré, et se demande pourquoi. Aristote au Mont-Saint-Michel propose un « rééquilibrage » qualifié, évidemment, de « scientifique ». Le fair-play peut aller jusqu’à constater que l’apport des sciences arabes est longtemps resté sous-évalué. Il suffit d’ajouter immédiatement que ce n’est pas pour, à présent, le surestimer, sauf bien sûr si l’on verse dans la « haine de soi ». L’islamophobie savante tient la balance. Les éclats de voix ne sont pas son genre. »

Quant au fond des arguments présentés, le lecteur pourra se faire lui-même une opinion, avec la difficulté que présente toutefois une réponse de spécialistes : il est pratiquement impossible pour un non-spécialiste de savoir si le choix et la présentation des arguments sont honnêtes ou biaisés. Vu la tonalité idéologique du livre, annoncée dès l’introduction, on ne peut qu’avancer avec prudence. J’en donnerai prochainement (pour ne pas alourdir cet article-ci) des exemples dans le domaine des mathématiques, matière qui fait plus facilement l’objet d’une approche non idéologique par les mathématiciens spécialisés.

  • Conclusion : ce que rate le livre « Les Grecs, les Arabes et nous »

Au-delà des nombreuses informations fournies par ce livre – jusqu’à noyer le lecteur et qui sont quasi-invérifiables par le commun des mortels –, ses rédacteurs passent en réalité à côté de deux questions essentielles :

1) il y a bien eu des savants, des artistes et des intellectuels arabes au Moyen-Âge, personne ne le conteste, mais la question est : depuis le Moyen-Âge, que s’est-il passé ?

Il semble bien qu’il ne se soit pas passé grand-chose comme les intervenants de l’émission de France 2 « Islam » du dimanche matin l’ont reconnu à plusieurs reprises. Même Tareq Oubrou parle dans son ouvrage « un imam en colère » du « déclin de toute une civilisation qui a raté, dès la fin du Moyen Âge, le train de la modernité. »

2) en quoi l’islam a-t-il été un moteur ou un frein au développement  ?

L’amalgame synthétisé par le terme « monde arabo-musulman » n’aide pas au débat : il y a d’un côté les scientifiques, les intellectuels, les artistes, qu’ils soient d’origine arabe ou pas (les Perses par exemple se sont pas des Arabes) et de l’autre le contexte sociétal imposé par une religion omniprésente, l’islam.

Il suffit de lire le Coran pour constater que l’islam n’est pas une religion très ouverte à la critique : or l’esprit critique, à l’origine de toutes les évolutions scientifiques, intellectuelles et artistiques du monde, n’aime pas se « soumettre ».

Le problème est que les rédacteurs de l’ouvrage « Les Grecs, les Arabes et nous » ne s’interrogent nulle part sur la nature de la doctrine musulmane : c’est assez ennuyeux pour une problématique dans laquelle la religion est centrale, car c’est la défense de l’islam qui est en réalité le vrai but de cet ouvrage.

Sylvain Gougenheim, au-delà de ses propres convictions personnelles et du débat qu’elles peuvent légitimement susciter, ne pouvait que déclencher l’ire des intellectuels islamophiles en osant dans son livre rappeler le concept du dar-al-islam, le statut détestable de « dhimmi » en islam réservé aux juifs et aux chrétiens, le fait que l’islam est fondamentalement une orthopraxie religieuse (structuration autour de la pratique et des rituels), ou encore l’impossibilité pour un musulman de quitter la communauté musulmane (puisque l’apostasie est punie de mort par Mahomet).