Islamophilie savante : Algèbre, islam et Occident

Comme nous l’avons vu dans un précédent article, l’ouvrage « Les Grecs, les Arabes et nous » cherche à défendre l’islam au travers du prisme opaque de la notion de monde arabo-musulman.

Au-delà de la polémique que soulève par définition toute approche critique de l’apport des différentes civilisations dans un monde où la « diversité » est devenue reine, il faut reconnaître que ce type d’analyse est difficile compte tenu de la complexité des questions soulevées. Sylvain Gougenheim cite dans son livre « Aristote au Mont Saint-Michel » un propos du grand historien Fernand Braudel qui en synthétise bien un des aspects : « La plupart des transferts culturels s’accomplissent sans que l’on connaisse les camionneurs ».

Néanmoins, il est un domaine où une approche scientifique sans doute moins sujette à des parti-pris idéologiques est possible, les mathématiques, car les mathématiciens sont assez imperméables aux questions religieuses dès lors que c’est de science qu’il s’agit. Je vous propose d’y revenir rapidement dans cet article.

  • La découverte de l’algèbre

Le livre « Les Grecs, les Arabes et nous » note à propos d’Al-Khwarizmi que « le mot même d’algèbre ne figure pas dans l’ouvrage de Gougenheim » et rappelle que « C’est pourtant dans le Livre d’algèbre d’al-Khwarizmi, que l’Europe, au XIIème siècle découvre l’algèbre ». Sylvain Gougenheim ne s’attarde effectivement pas beaucoup de façon générale sur les questions mathématiques dans son livre « Aristote au Mont Saint-Michel », questions avec lesquelles il ne semble pas forcément très familier.

Pour autant, l’apport de certains mathématiciens arabes du Moyen-Âge est un fait largement reconnu dans la communauté scientifique et universitaire depuis longtemps et ne fait guère l’objet de polémique. Citons Gilles Godefroy dans son livre « L’aventure des nombres » :

« Toujours est-il qu’Al-Mamoun établit à Bagdad une Maison de la sagesse (Bait Al-Hikma) où sont traduits Euclide, Apollonius, Diophante, Archimède, Aristote, et où affluent les savants iraniens et indiens. Ceux-ci apportent avec eux le système décimal de position, agrémenté d’un progrès capital, que nous devons sans doute à l’Inde : le zéro. (…) Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi est, au début du IXème siècle, l’un des membres les plus actifs de la Bait Al-Hikma de Bagdad. Il participe par exemple à une expérience couronnée de succès visant à calculer le rayon de la sphère terrestre. Il produit aussi une demi-douzaine de livres astronomiques et mathématiques, parmi lesquels on peut citer son « De numero indorum », dont l’original arabe est perdu mais dont subsiste une unique traduction latine. Dans cet ouvrage, peut-être basé sur une traduction arabe de Brahmagupta, Al-Khwarizmi décrit en détail le système de numérotation indien, qui, au prix de quelques modifications de forme mais non de principe, allait devenir le nôtre. C’était bien sûr moins clair pour ses traducteurs latins, et moins encore pour leurs lecteurs, d’où le nom de « chiffres arabes » utilisés jusqu’à nos jours. »

« Le nom d’Al-Khwarizmi, latinisé en algorismi puis en algorisme, allait finalement devenir notre mot algorithme, cependant que le titre de son ouvrage le plus célèbre « Hisab al-jabr wa’l muqabalah » traduit en « Liber algebrae et almucabola » (le traducteur, Gérard de Crémone, ne s’est pas fatigué inutilement) allait nous donner « l’algèbre ». Cette algèbre d’Al-Khwarizmi représente une avancée fondamentale, immédiatement reconnue comme telle. On y assiste en effet à un changement de point de vue : il ne s’agit plus de résoudre des problèmes arithmétiques ou géométriques qu’on peut traduire en équations, mais au contraire de partir des équations dont chacune recouvre et résume une classe infinie de problèmes variés. (…) Les algébristes arabes sont en effet les premiers à dégager le concept de polynôme, sans limitation de degré. Ils vont donc démontrer une quantité de théorèmes sur ce que nous appelons à présent l’algèbre des polynômes. »

Mais si l’apport des mathématiciens arabes est tout à fait reconnu, il est juste également d’en préciser les limites pour reconnaître l’apport des autres mathématiciens. Poursuivons avec Gilles Godefroy :

« Nous sommes à la fin du Quattrocento, dans une université déjà vénérable puisqu’elle est la plus ancienne d’Europe, à Bologne. L’Italie regroupe alors les meilleurs arithméticiens et on y accourt de l’Europe entière pour y apprendre… à multiplier et à diviser suivant les méthodes modernes. Le niveau de la recherche est naturellement très supérieur à celui des cours magistraux et les chercheurs italiens vont démontrer leur savoir-faire. C’est en effet à Bologne, où il enseigne, que l’algébriste Scipione dal Ferro va inaugurer les temps modernes en triomphant d’un très ancien problème : la résolution algébrique de l’équation générale du troisième degré : ax3 + bx2 + cx + d = 0. Cette question capitale avait bien sûr été fréquemment abordée. Voyons comment le scientifique persan Al-Khayyam (1050-1122), qu’on identifie au célère poète du même nom, y répond, en posant : y = x2, on est amené au système d’équations : axy + by + cx + d = 0 et y – x2 = 0, que l’on interprète comme la recherche de points d’intersection d’une hyperbole et d’une parabole, points dont on montre effectivement l’existence. L’approche d’Al-Khayyam montre qu’il était très conscient des liens qui unissent algèbre et géométrie. (…) Le point de vue d’Al-Khayyam était très moderne puisqu’il concevait clairement l’idée puissante de changement de cadre aujourd’hui centrale en mathématiques. Son approche, cartésienne avant la lettre, ne pouvait cependant le satisfaire pleinement : il cherche à exprimer une solution à l’aide de radicaux, reconnaît avoir échoué, et formule l’espoir que « peut-être l’un de ceux qui viendront après nous réalisera cette résolution ». Quatre siècles plus tard, c’est aux algébristes italiens, dignes disciples des arabophones et de Fibonacci, que reviendra l’honneur de réaliser ce souhait en triomphant du troisième degré par des moyens purement algébriques. »

En effet, si les mathématiciens arabes avaient pu résoudre certaines équations polynomiales par des voies inspirées de la géométrie, il leur manquait une approche rigoureuse et systématique pour la résolution de ces équations.

  • Dérivés et primitives

On lit également dans « Les Arabes, les Grecs et nous » (page 66) : « Les mathématiciens qui apprendront non seulement que Thâbit ibn Qurra a traduit les livres V et VII de la Cronica d’Appolonius mais également qu’il a montré que la primitive de (racine de x) était (2/3 x3/2), et calculé l’aire de l’ellipse en cherchant la limite des sommes des aires des polygones inscrits et exinscrits, resteront sans doute perplexes ».

Cette remarque critique de l’ouvrage de Sylvain Gougenheim n’est pas très claire : le reproche semble surtout porter sur le fait que Sylvain Gougenheim limite sa description aux découvertes d’un individu, Thâbit ibn Qurra, sans évoquer le contexte scientifique plus global dans lequel il évoluait.

Sylvain Gougenheim met au crédit de Thâbit ibn Qurra (page 98) une découverte (la primitive de racine de x) et laisse ainsi supposer une découverte conceptuelle étonnante pour son temps : les mathématiciens arabes ont-ils conceptualisé véritablement le calcul infinitésimal en commençant à le formaliser sous la forme « moderne » de dérivés et primitives ?

L’intuition du raisonnement infinitésimal au sens de calcul par approximations successives que l’on peut poursuivre indéfiniment est apparue des siècles avant l’islam (notamment dans le calcul approché par encadrement de la surface du cercle ou d’autres formes géométriques) mais le concept de dérivée et de primitive (et ses multiples conséquences), lié au calcul différentiel et intégral, n’a été formulé rigoureusement qu’à partir du XVIIème siècle avec les contributions essentielles de Leibniz, Newton, Bernoulli, Euler, et d’autres encore.

Il est possible que Thâbit ibn Qurra ait, sur un cas isolé, trouvé ce que nous appelons aujourd’hui la « primitive » d’une fonction, mais la formulation générale et la maîtrise de ce concept ne datent pas de son époque comme en attestent les ouvrages de mathématiques.

  • Conclusion

La contribution des mathématiciens arabes du Moyen-Âge est tout à fait reconnue par leurs pairs occidentaux : cette contribution est facilement identifiable dans des ouvrages d’histoire des mathématiques disponibles dans les librairies.

Malheureusement, les penchants idéologiques de certains intellectuels non-scientifiques les poussent semble-t-il parfois à magnifier la place de la mathématique arabe dans l’histoire des sciences, et surtout à mélanger les questions.

En effet, le problème n’est pas tant de savoir s’il y a eu de grands savants arabes que de comprendre pourquoi, sur la longue durée, ce flot s’est tari au point de devenir quasi-inexistant depuis le Moyen-Âge, et de déterminer quelle influence a pu avoir l’islam sur cet assèchement, la liberté de la critique étant une des conditions fondamentales du développement des sciences mais ne faisant guère partie des valeurs essentielles de la culture musulmane.

 

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