Pi : encore une approximation

  • Problématique

Dans le livre « Les Grecs, les Arabes et nous » visant à défendre l’islam contre la critique et à valoriser son legs culturel à l’humanité (cf. articles précédents), il est écrit page 67 à propos de l’apport dans le domaine des sciences : « le traité « sur la figure des mesures planes et sphériques » est le point de départ des recherches mathématiques infinitésimales qui seront menées dans le monde arabo-musulman ; dans ce traité, les Banû Mûsâ déterminent la surface du cercle et celle de la sphère, et montrent que le volume de la sphère est égale à son rayon multiplié par un tiers de sa surface. »

Mais que veut dire « déterminer » dans ce texte, ce terme laissant entendre qu’une étape nouvelle a été franchie dans le raisonnement mathématique  s’agissant de la nature profonde du nombre pi ?

  • Examen

Gilles Godefroy indique dans son livre « L’aventure des nombres » au sujet de pi : « En 1424, Al-Kashi de Samarcande a pulvérisé le record (sept décimales) établi mille ans plus tôt par Tsu Ch’ung-chih en calculant les seize premières décimales. » Il s’agit effectivement d’un grand progrès en matière de calcul approché.

Jean-Paul Delahaye (« Le fascinant nombre pi ») note de son côté qu’Al-Kashi calcule les décimales de pi par la méthode connue des polygones d’Archimède et que pour 100 décimales, il faudra attendre le XVIIIème siècle. C’est Viète (1540-1603) qui donne la première formule infinie et non approchée de pi :

En effet, pi est un nombre transcendant qui ne peut être exprimé que par une suite infinie de calculs élémentaires. Beaucoup de mathématiciens proposeront d’autres formules, comme Wallis, Brouncker, Gregory, Leibniz, Newton, Stirling, Machin, Euler, toute la difficulté étant de trouver celle qui assure la convergence la plus rapide possible des calculs.

Euler, immense génie, fournit une formule d’une majestueuse élégance :

  • Conclusion

Les Banû Mûsâ ont amélioré le calcul approché de pi de façon significative mais n’ont pas franchi l’étape de la proposition d’une formulation mathématique exacte.

Au-delà du fait que cette question n’apporte pas grand-chose à l’analyse du rapport de la science à l’islam, le flou du propos contenu dans le livre « Les Grecs, les Arabes et nous » est assez ennuyeux car il laisse entendre qu’une percée conceptuelle a été réalisée par la mathématique arabe dans le monde musulman permettant l’obtention d’une formule exacte, ce qui n’est pas le cas. Pour des auteurs qui se veulent d’une objectivité et d’une rigueur irréprochables, il y a encore du travail.

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